RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE DOS INCÓGNITAS PASO A PASO

El objetivo es resolver problemas de programación lineal que se pueden resolver mediante el planteamiento de un sistema de inecuaciones lineales de dos incógnitas y una función, habitualmente de beneficio o coste, a optimizar, ya sea maximizar o minimizar. Para ello se empezará por plantear el sistema de inecuaciones correspondiente a las restricciones del problema que nos indican el abanico de soluciones posibles y luego buscaremos la mejor solución entre las posibles soluciones.PROBLEMA TÍPICO EN SELECTIVIDAD DE MATEMATICAS DE CC.SS..

Prerrequisitos: Saber plantear inecuacones a partir de un enunciado, representar funciones lineales, representar el plano de soluciones de una inecuación de dos incógnitas.


Un fabricante produce dos productos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura.
El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 30 euros.
Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

Solución:

Llamamos x a la producción diaria de artículos A e y a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla:

CANTIDAD

MONTAJE

PINTURA

BENEFICIO

A

x

x horas

2x horas

20x

B

y

3y horas

y horas

40y

TOTAL

x + 3y

2x + y

20x + 40y

Las restricciones son:

restricciones

he mos obtenido las dos primeras inecuaciones a partir de los límites de 9 y 8 horas diarias de funcionamiento de las máquinas de montaje y pintura respectivamente. Además tenemos las dos últimas inecuaciones porque x e y no pueden ser negativas en este problema

La función que nos da el beneficio es z = 20x + 40y

Debemos obtener el máximo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones

area de soluciones

Se ha dibujado también la recta x+2y=0 correspondiente a un beneficio cero, pero es innecesario.

Hallamos todos las esquinas del recinto

A(0, 3)

B(0, 0)

C(4, 0)

D(3, 2)

el punto D se halla resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente a

dd

cuyo resultado es x= 3 , y =2

Comprobamos en cual de esos puntos se da el mayor beneficio Z

Z(A) = 20 . 0 + 40 . 3 = 120

Z(B) = 20 . 0 + 40 . 0 = 0

Z(C) = 20 . 4 + 40 . 0 = 80

Z(D) = 20 . 3 + 40 . 2 = 140

y comprobamos que se produce en el punto (3, 2)

 

Entonces la solución es :

Deben producirse 3 unidades de A y 2 de B para beneficio máximo. En este caso, el beneficio será de 140 euros.

[Índice de matemáticas paso a paso]

 

 

LITICS: