Enunciadodel problema 1A, PAU Comunidad Valenciana 2025 Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.
Una empresa fabrica lotes de tres productos: P1, P2 y P3. La empresa tiene dos plantas de fabricación: A y B.
En un día de funcionamiento:
- La planta A fabrica 1 lote de P1, 2 lotes de P2 y 1 lote de P3.
- La planta B fabrica 1 lote de P1, 1 de P2 y 5 de P3.
En los próximos días la empresa tiene que producir al menos 6 lotes de P1, al menos 8 lotes de P2 y al menos 10 lotes de P3.
- ¿Cuántos días ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo?
- ¿Cuál es dicho coste mínimo?
Resolución paso a paso
Paso 1: Definición de variables
- Sea x: número de días que funciona la planta A.
- Sea y: número de días que funciona la planta B.
Paso 2: Planteamiento de restricciones
- Para el producto P1:
x + y ≥ 6 - Para el producto P2:
2x + y ≥ 8 - Para el producto P3:
x + 5y ≥ 10 - Además:
x ≥ 0,y ≥ 0
Paso 3: Función objetivo
El coste total a minimizar es:
C = 60x + 75y
Paso 4: Resolución del sistema
Buscamos los puntos de corte de las rectas de las restricciones para encontrar los vértices de la región factible.
-
Intersección 1:
x + y = 6y2x + y = 8
Punto A: (2, 4) -
Intersección 2:
x + y = 6yx + 5y = 10
Punto B: (5, 1) -
Intersección 3:
2x + y = 8yx + 5y = 10
Punto C: (10/3, 4/3) ≈ (3.33, 1.33)
Paso 5: Comprobación de los puntos
- (2, 4): Cumple todas las restricciones
- (5, 1): Cumple todas las restricciones
-
(3.33, 1.33): No cumple la restricción
x + y ≥ 6X
Paso 6: Evaluación de la función objetivo
-
Para (2, 4):
C = 60x2 + 75x4 = 120 + 300 = 420 -
Para (5, 1):
C = 60x5 + 75x1 = 300 + 75 = 375
Gráfico de la región factible y solución óptima
Nota: La región NO sombreada representa las soluciones válidas. Los puntos destacados son los vértices evaluados.
Respuesta final
- La planta A debe funcionar 5 días y la planta B 1 día para minimizar el coste.
- El coste mínimo es 375 miles de euros.
| Planta | Días de funcionamiento |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 1 |