Problema Circense - Resolución Paso a Paso

Enunciado problema 1B, PAU Comunidad Valenciana 2025 Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.

A un espectáculo circense acuden 500 espectadores, y la recaudación del importe de las entradas asciende a 2.115 euros.

Se sabe que el número de espectadores que han pagado el 20% es el doble del número de espectadores que han pagado la entrada completa.
?Cu?ntos espectadores han pagado el importe total de la entrada, cuántos han pagado el 20% y cuántos el 50%?

Resolución paso a paso

Paso 1: Definición de variables

  • Sea x: número de espectadores que pagan el 100% (entrada completa).
  • Sea y: número de espectadores que pagan el 20% (menores de 5 años).
  • Sea z: número de espectadores que pagan el 50% (entre 5 y 16 años).

Paso 2: Planteamiento del sistema de ecuaciones

  • Total de espectadores: x + y + z = 500
  • Recaudación total:
    9x + 0.2·9y + 0.5·9z = 2115
    9x + 1.8y + 4.5z = 2115
  • El número de espectadores que pagan el 20% es el doble de los que pagan el 100%:
    y = 2x

Paso 3: Resolución del sistema

sistema de ecuaciones

  • Sustituimos y = 2x en las otras ecuaciones:
  • x + 2x + z = 500 → 3x + z = 500
  • 9x + 1.8·2x + 4.5z = 2115 → 9x + 3.6x + 4.5z = 2115 → 12.6x + 4.5z = 2115

Despejamos z de la primera ecuación:

  • z = 500 - 3x

Sustituimos en la segunda ecuación:

  • 12.6x + 4.5(500 - 3x) = 2115
  • 12.6x + 2250 - 13.5x = 2115
  • (12.6x - 13.5x) + 2250 = 2115
  • -0.9x = 2115 - 2250 = -135
  • x = -135 / -0.9 = 150

Ahora calculamos y y z:

  • y = 2x = 2·150 = 300
  • z = 500 - 3x = 500 - 450 = 50

Paso 4: Comprobación

  • Total espectadores: 150 + 300 + 50 = 500
  • Recaudación:
    9·150 + 0.2·9·300 + 0.5·9·50 = 1350 + 540 + 225 = 2115?
  • El número de espectadores que pagan el 20% es el doble de los que pagan el 100%:
    300 = 2·150
Distribución de espectadores según el tipo de entrada

Respuesta final

  • 150 espectadores han pagado el 100% de la entrada (9 €).
  • 300 espectadores han pagado el 20% de la entrada (1,80 €).
  • 50 espectadores han pagado el 50% de la entrada (4,50 €).
Tipo de entrada Nº de espectadores Precio pagado (€)
100% (Adultos) 150 9,00
20% (Menores de 5 años) 300 1,80
50% (5 a 16 años) 50 4,50
Recaudación total: 2.115€

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