Función a Trozos - Resolución Paso a Paso

Enunciado problema 2A, PAU Comunidad Valenciana 2025 Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.

Sea la función:
$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 + x^2}{1 + x}, & 0 \leq x < 4 \\\\ 2x + 4, & 4 \leq x < 8 \\\\ 3x + 60 - x^2, & 8 \leq x \leq 9 \end{cases} $$
  1. a) Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,9].
  2. b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [0,9].
  3. c) Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuanto vale la función en esos puntos.
  4. d) Calcular el área de la región delimitada por esta función, el eje OX, la recta x = 8 y la recta x = 9.

Resolución paso a paso

a) Estudio de la continuidad en [0,9]

  • La función es continua en cada tramo porque dos tramos son funciones polinómicas y el tramo racional sólo sería discontinua cuando el denominador es igual a cero, es decir, en x=-1, que queda fuera del dominio de la función.
  • Comprobamos continuidad en los puntos de unión: x = 4 y x = 8.
En x = 4:
  • Límite por la izquierda: \( \lim_{x \to 4^-} \frac{1 + x^2}{1 + x} = \frac{17}{5} = 3.4 \)
  • Límite por la derecha: \( \lim_{x \to 4^+} 2x + 4 = 12 \)
  • Como \( 3.4 \neq 12 \) y f(4)=2 . 4 + 4= 12, no es continua en x = 4, con una discontinuidad de salto.
En x = 8:
  • Límite por la izquierda: \( \lim_{x \to 8^-} 2x + 4 = 20 \)
  • Límite por la derecha: \( \lim_{x \to 8^+} 3x + 60 - x^2 = 20 \)
  • Ambos límites coinciden y f(8) = 20, es continua en x = 8.
  • Conclusión: La función f(x) es continua en [0,9] salvo en x = 4 donde hay una discontinuidad de salto.

b) Crecimiento y decrecimiento en [0,9]

  • Derivamos cada tramo:
Tramo 1: \( 0 \leq x < 4 \), \( f(x) = \frac{1 + x^2}{1 + x} \)
  • Derivada:
    \( f'(x) = \frac{(2x)(1 + x) - (1 + x^2)(1)}{(1 + x)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(1 + x)^2} \)
  • Raíces del numerador: \( x^2 + 2x - 1 = 0 \rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2} \approx 0.414, -2.414 \)
  • el -2.414 no nos interesa al estar fuera del dominio de definición.
  • - Para \( x < 0.414 \), por ejemplo f'(0.2) < 0 , luego decrece.
    - Para \( x > 0.414 \), por ejemplo para f'(0.6) > 0 , luego crece.
Tramo 2: \( 4 \leq x < 8 \), \( f(x) = 2x + 4 \)
  • Derivada: \( f'(x) = 2 \) (siempre positiva, creciente).
Tramo 3: \( 8 \leq x \leq 9 \), \( f(x) = 3x + 60 - x^2 \)
  • Derivada: \( f'(x) = 3 - 2x \)
  • - En [8,9], \( f'(x) < 0 \) → decreciente.

Resumen: f(x) es decreciente en [0, -1+v2) U [8, 9] y es creciente en (-1+v2, 8]

c) Máximos y mínimos absolutos en [0,9]

  • Punto crítico en tramo 1: \( x = 0.414 \)
  • Extremos del intervalo: x = {0, 4, 8, 9}
Calculamos los valores:
  • f(0) = 1
  • f(0.414) ≈ 0.828
  • f(4^-) = 3.4
  • f(4^+) = 12
  • f(8^-) = 20
  • f(8^+) = 20
  • f(9) = 6
Resumen:
  • Mínimo absoluto: f(0.414) ≈ 0.828 en x=-1+v2 ≈ 0.414, coincidente con un m?nimo local.
  • Máximo absoluto: f(8) = 20 en x = 8

d) Área delimitada por f(x), eje OX, x=8 y x=9

  • ?rea = \( \int_{8}^{9} [3x + 60 - x^2] \, dx \)
Primitiva: ∫(3x + 60 - x²) dx = (3/2)x² + 60x - (1/3)x³ + C

Calculamos:
A = [(3/2)·9² + 60·9 - (1/3)·9³] - [(3/2)·8² + 60·8 - (1/3)·8³]
  = [121.5 + 540 - 243] - [96 + 480 - 170.67]
  = [418.5] - [405.33]
  ≈ 13.2
  • ?rea ≈13.2 unidades cuadradas
Gráfico de la función f(x) en [0,9]

Respuestas finales

  1. a) La función es continua en [0,9] salvo en x = 4 donde hay una discontinuidad de salto.
  2. b) f(x) es decreciente en el intervalo [0, 0.414), creciente en (0.414, 4), creciente en [4,8) tras un salto en x=4 y decreciente en [8,9].
  3. c) Máximo absoluto en x = 8, f(8) = 20. Mínimo absoluto en x ≈ 0.414, f(0.414) ≈ 0.828.
  4. d) ?rea bajo la curva entre x = 8 y x = 9: ≈ 13.2 unidades cuadradas.

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