Enunciado problema 2B, PAU Comunidad Valenciana 2025 Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.
Sea la función:
$$ f(x) = \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8} $$
$$ f(x) = \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8} $$
- a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
- b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
- c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen.
- d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.
a) Dominio y puntos de corte
- Dominio: El denominador se anula si \( x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = -2,\ 4 \).
Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\} \) - Factorización:
- Numerador: \( 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x-3)(x+3) \)
- Denominador: \( x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) \)
- Corte con eje Y: x=0 →\( f(0) = \frac{-36}{-8} = 4.5 \) → (0, 4.5)
- Cortes con eje X: f(x)=0 → \( 4x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3,\ x = -3 \) → (3, 0), (-3, 0)
b) Asíntotas horizontales y verticales
- Asíntotas verticales: Donde el denominador se anula y el numerador no.
-
En \( x = -2 \):
$$
\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8}
$$
El numerador: \( 4(-2)^2 - 36 = 16 - 36 = -20 \neq 0 \).
El denominador tiende a 0, por lo que, tanteando valores: $$ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty $$ Asíntota vertical en \( x = -2 \). -
En \( x = 4 \):
$$
\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8}
$$
El numerador: \( 4(4)^2 - 36 = 64 - 36 = 28 \neq 0 \).
El denominador tiende a 0, por lo que, tanteando valores: $$ \lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x \to 4^+} f(x) = +\infty $$ Asíntota vertical en \( x = 4 \).
-
En \( x = -2 \):
$$
\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8}
$$
El numerador: \( 4(-2)^2 - 36 = 16 - 36 = -20 \neq 0 \).
- Asíntota horizontal:
- Calculamos el límite en infinito: $$ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8} $$ Dividimos numerador y denominador por \( x^2 \): $$ = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4 - \frac{36}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^2}} = \frac{4}{1} = 4 $$ Asíntota horizontal en \( y = 4 \).
c) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos
- Derivada (regla del cociente): $$ f'(x) = \frac{[8x](x^2-2x-8) - (4x^2-36)[2x-2]}{(x^2-2x-8)^2} $$
- Simplificando el numerador: $$ 8x(x^2-2x-8) = 8x^3 - 16x^2 - 64x \\ (4x^2-36)(2x-2) = 8x^3 - 16x^2 - 64x - [8x^3 - 8x^2 - 72x + 72] = -8x^2 + 8x - 72 $$
- Por tanto: $$ f'(x) = \frac{-8x^2 + 8x - 72}{(x^2-2x-8)^2} $$
- Igualamos a cero: $$ -8x^2 + 8x - 72 = 0 \implies x^2 - x + 9 = 0 \implies x = \frac{1 \pm \sqrt{-35}}{2} $$ que no tiene soluciones reales, luego no hay máximos ni mínimos locales.
- Signo de la derivada:
- Asíntotas en x = -2, 4 y no hay ceros de la derivada
- Definimos los Intervalos a analizar y tanteamos valores en cada intervalo, obteniendo:
- \((-\infty, -2)\): \( f'(x) < 0 \) (decrece)
- \((-2, 4)\): \( f'(x) < 0 \) (decrece)
- \((4, \infty)\): \( f'(x) < 0 \) (decrece)
- Máximos o m?nimos locales: No hay.
d) Representación gráfica
- Incluye los cortes, asíntotas y el comportamiento en cada intervalo.
