Enunciado problema 1, PAU Comunidad Valenciana julio 2024 Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.

Problema:

Una fábrica vende diariamente dos modelos de bolígrafos de color verde. El modelo sencillo requiere una unidad de tinta y otra de plástico para su fabricación, el más sofisticado requiere una unidad de tinta y una y media de plástico. Dispone de 2500 unidades de tinta y de 3000 de plástico, y además se sabe que no se pueden fabricar más de 2000 unidades de bolígrafos sencillos. Por cada bolígrafo sencillo la empresa gana 0,5 euros y por cada uno de los sofisticados 0,7 euros.

a) ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir para maximizar las ganancias? (8 puntos)

b) ¿A cuánto ascienden estas ganancias máximas? (2 puntos)

 

RESOLUCIÓN

Paso 1: Definir las variables
Llamaremos:

x = número de bolígrafos del modelo sencillo a producir.
y = número de bolígrafos del modelo sofisticado a producir.

Paso 2: Establecer la función objetivo
Queremos maximizar las ganancias. La ganancia por cada bolígrafo sencillo es de 0,5 euros y por cada sofisticado es de 0,7 euros. Por lo tanto, la función de ganancia (Z) que queremos maximizar es:

Z(x,y)=0.5x+0.7y

Paso 3: Formular las restricciones
Las limitaciones de producción se basan en los recursos disponibles (tinta y plástico) y la capacidad de fabricación.

Restricción de tinta: Cada bolígrafo (sencillo o sofisticado) requiere una unidad de tinta. Se dispone de 2500 unidades de tinta.
x+y≤2500

Restricción de plástico: El modelo sencillo requiere una unidad de plástico y el sofisticado una y media (1.5). Se dispone de 3000 unidades de plástico.
x+1.5y≤3000

Restricción de producción del modelo sencillo: No se pueden fabricar más de 2000 unidades de bolígrafos sencillos.
x≤2000

Restricciones de no negatividad: La cantidad de bolígrafos producidos no puede ser negativa.
x≥0
y≥0

Paso 4: Encontrar la región factible y sus vértices
La región factible es el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen todas las restricciones. Para encontrarla, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones y determinamos los puntos de intersección (vértices) de esta región.

Las rectas son:

x+y=2500
x+1.5y=3000
x=2000
x=0
y=0

Podemos hacer una pequeña tabla de valores para cada recta para ayudarnos a representarlo.

Gráfico:

Calculamos los vértices de la región factible resolviendo sistemas de ecuaciones de cada intersección:

• Vértice A: Intersección de x=0 y y=0. A=(0,0)

• Vértice B: Intersección de x=2000 y y=0. B=(2000,0)

• Vértice C: Intersección de x=2000 y x+y=2500. Sustituimos x=2000 en la segunda ecuación: 2000+y=2500⟹y=500 C=(2000,500)

• Vértice D: Intersección de x+y=2500 y x+1.5y=3000. Restamos la primera ecuación de la segunda: (x+1.5y)−(x+y)=3000−2500 0.5y=500⟹y=1000 Sustituimos y=1000 en la primera ecuación: x+1000=2500⟹x=1500 D=(1500,1000)

• Vértice E: Intersección de x=0 y x+1.5y=3000. Sustituimos x=0 en la segunda ecuación: 0+1.5y=3000⟹y=2000 E=(0,2000)

Paso 5: Evaluar la función objetivo en los vértices

Ahora, evaluamos la función de ganancia Z(x,y)=0.5x+0.7y en cada uno de los vértices para encontrar el valor máximo.

• Para A(0,0): Z=0.5(0)+0.7(0)=0 €

• Para B(2000,0): Z=0.5(2000)+0.7(0)=1000 €

• Para C(2000,500): Z=0.5(2000)+0.7(500)=1000+350=1350 €

• Para D(1500,1000): Z=0.5(1500)+0.7(1000)=750+700=1450 €

• Para E(0,2000): Z=0.5(0)+0.7(2000)=1400 €

El valor máximo se obtiene en el vértice D.

Solución

a) Para maximizar las ganancias, la fábrica debe producir 1500 unidades del bolígrafo sencillo y 1000 unidades del bolígrafo sofisticado.

b) Las ganancias máximas ascienden a 1450 euros.