Problema 2, PAU Comunidad Valenciana julio 2024 Matemáticas Aplicadas a las CC. SS.

Consideramos las matrices

a)   Analiza si la matriz   A B – 2 I  es invertible, siendo I  la matriz identidad de orden 3.
(3 puntos)

b)   Determina la matriz  X   que es solución de la ecuación   A + 2 X C = Bt, siendo  Bt  la matriz traspuesta de la matriz  B.   (4 puntos)

c)  Calcula para  qué valores de z la  matriz  

C D = D C.    (3 puntos)

RESOLUCIÓN

a) ¿Es invertible AB−2I?

1. Calculamos AB:

2. Calculamos AB−2I:

Restamos 2I₃:

3. ¿Es invertible? Calculamos el determinante de esa matriz 3×3. Llamémosla M:

= − 3 ( 0 ⋅ 7 − 3 ⋅ 2 ) − 4 ( 0 ⋅ 7 − 3 ⋅ 1 ) + 0 = − 3 ( − 6 ) − 4 ( − 3 ) = 18 + 12 = 30

✅ El determinante es 30, distinto de 0, así que la matriz AB−2I es invertible.

b)   Determina la matriz  X   que es solución de la ecuación   A + 2 X C = B^t, siendo  B^t  la matriz traspuesta de la matriz  B.

Paso 1: Despejamos la ecuación

A+2XC = B^t --> 2XC=B^t-A --> XC=1/2 (B^t-A) --> X = 1/2 (B^t-A).C^-1

Paso 2: Calculamos B^t−A

Paso 3: Inversa de C

Paso 4: Multiplicamos para obtener X

c) ¿Para qué valores de z se cumple la igualdad CD= DC?

Los valores (1,2) y (2,1) obtienen la misma igualdad:

−3+z=1⇒z=4

El resto de valores son iguales

Por lo tanto se cumple para z=4

[Índice de matemáticas paso a paso]