Problema 3 – PAU Comunidad Valenciana (Julio 2024)

Enunciado

Se considera la función:

f(x) = 1 / (3x² – 1)²

Se pide:

1. Determinar el dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
2. Calcular las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
3. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.
4. Representar gráficamente la función a partir de los resultados anteriores.

a) Dominio y cortes

• Dominio: excluye los valores que anulan el denominador: (3x² – 1)²=0 → �� = ±1/√3
• Dominio: R \ { -1/√3, 1/√3 }
• Corte con el eje Y: x=0 → f(0) = 1 ? punto (0, 1)
• La función no corta el eje X porque el numerador nunca es cero.

b) Asíntotas justificadas mediante límites

Asíntotas verticales: en los puntos donde el denominador se anula:

  x = ±1/√3
  limx→(1/√3)⁻ f(x) = limx→(1/√3)⁺ f(x) = +∞
  limx→(−1/√3)⁻ f(x) = limx→(−1/√3)⁺ f(x) = +∞
  

Como los límites laterales tienden a infinito positivo, hay asíntotas verticales en:

x = ±1/√3

Asíntota horizontal: estudiamos el límite cuando x tiende a infinito:

  limx→±∞ f(x) = limx→±∞ 1 / (9x⁴ - 6x² + 1) = 0
  

Por tanto, hay una asíntota horizontal en y = 0.

c) Derivada y crecimiento

  f(x) = (3x² - 1)^(-2)
  f'(x) = -2(3x² - 1)^(-3) · 6x = -12x / (3x² - 1)³
  

• Creciente en: (−∞, −1/√3) ∪ (0, 1/√3), f’(x)>0
• Decreciente en: (−1/√3, 0) ∪ (1/√3, ∞), f'(x)<0
• f(0)=1, y como pasa de decreciente a creciente en x=0 Mínimo relativo en: (0, 1)

d) Gráfica de la función

A continuación se muestra la representación aproximada de f(x):